Thursday 14 September 2017

Durchschnittliches Prognosemodell


Eine sanfte Einführung in die Box-Jenkins-Methode für die Zeitreihenvorhersage Das Autoregressive Integrated Moving Average Modell oder kurz ARIMA ist ein statistisches Standardmodell für die Zeitreihenprognose und - analyse. Zusammen mit ihrer Entwicklung schlagen die Autoren Box und Jenkins auch ein Verfahren zur Identifizierung, Schätzung und Überprüfung von Modellen für einen bestimmten Zeitreihendatensatz vor. Dieser Vorgang wird nun als Box-Jenkins-Methode bezeichnet. In diesem Beitrag, entdecken Sie die Box-Jenkins-Methode und Tipps für die Verwendung auf Ihre Zeitreihe Vorhersage Problem. Im Einzelnen werden Sie lernen: Über die ARIMA-Prozess und wie die 3 Schritte der Box-Jenkins-Methode. Best Practice-Heuristiken zur Auswahl der q-, d - und p-Modellkonfiguration für ein ARIMA-Modell. Auswertung von Modellen durch Überarbeitung und Restfehler als Diagnoseverfahren. Lassen Sie uns beginnen. Eine sanfte Einführung in die Box-Jenkins-Methode für die Zeitreihenprognose Foto von Erich Ferdinand. Einige Rechte vorbehalten. Autoregressives integriertes Moving Average Modell Ein ARIMA Modell ist eine Klasse von statistischem Modell zur Analyse und Prognose von Zeitreihendaten. ARIMA ist eine Abkürzung für A uto R egressive I ntegration M oving A verage. Es ist eine Verallgemeinerung des einfacheren AutoRegressive Moving Average und fügt den Begriff der Integration hinzu. Dieses Akronym beschreibt die wichtigsten Aspekte des Modells. Kurz, sie sind: AR. Autoregression. Ein Modell, das die abhängige Beziehung zwischen einer Beobachtung und einer gewissen Anzahl von verzögerten Beobachtungen verwendet. ICH . Integriert. Die Verwendung der Differenzierung von rohen Beobachtungen (d. H. Subtrahieren einer Beobachtung von einer Beobachtung bei der vorherigen Zeitstufe), um die Zeitreihe stationär zu machen. MA Gleitender Durchschnitt . Ein Modell, das die Abhängigkeit zwischen einer Beobachtung und Restfehlern von einem gleitenden Durchschnittsmodell verwendet, das auf verhaltene Beobachtungen angewendet wird. Jede dieser Komponenten wird explizit im Modell als Parameter angegeben. Eine Standardnotation wird von ARIMA (p, d, q) verwendet, wobei die Parameter mit ganzzahligen Werten ersetzt werden, um schnell das spezifische verwendete ARIMA-Modell anzuzeigen. Die Parameter des ARIMA-Modells sind wie folgt definiert: p. Die Anzahl der Lag-Beobachtungen in das Modell, auch die Lag-Reihenfolge. D. Die Häufigkeit, mit der die Rohbeobachtungen differenziert werden, auch Differenzgrad genannt. Q. Die Größe der gleitenden mittleren Fenster, auch die Reihenfolge der gleitenden Durchschnitt genannt. Box-Jenkins-Methode Die Box-Jenkins-Methode wurde von George Box und Gwilym Jenkins in ihrem Seminal 1970 Lehrbuch Zeitreihe Analyse: Prognose und Kontrolle vorgeschlagen. Der Ansatz beginnt mit der Annahme, dass der Prozess, der die Zeitreihe erzeugte, unter Verwendung eines ARMA-Modells, wenn es stationär ist, oder eines ARIMA-Modells, wenn es nicht stationär ist, angenähert werden kann. Die zweite Ausgabe des Lehrbuchs 2016 (Teil 2, Seite 177) bezieht sich auf den Prozess als stochastisches Modellbauwerk, und es ist ein iterativer Ansatz, der aus den folgenden drei Schritten besteht: Identifizierung. Verwenden Sie die Daten und alle damit zusammenhängenden Informationen, um zu helfen, eine Unterklasse des Modells auszuwählen, die die Daten am besten zusammenfassen kann. Einschätzung . Verwenden Sie die Daten, um die Parameter des Modells zu trainieren (d. h. die Koeffizienten). Diagnoseprüfung. Beurteilen Sie das eingebaute Modell im Rahmen der verfügbaren Daten und prüfen Sie auf Bereiche, in denen das Modell verbessert werden kann. Es ist ein iterativer Prozess, so dass, wenn neue Informationen während der Diagnose gewonnen werden, können Sie zurück zu Schritt 1 zurückkehren und das in neue Modellklassen integrieren. Let8217s werfen einen Blick auf diese Schritte im Detail. 1. Identifikation Der Identifizierungsschritt wird weiter unterteilt in: Beurteilung, ob die Zeitreihe stationär ist, und wenn nicht, wie viele Unterschiede erforderlich sind, um sie stationär zu machen. Identifizieren Sie die Parameter eines ARMA-Modells für die Daten. 1.1 Unterschiede Im Folgenden finden Sie einige Tipps zur Identifikation. Einheitenstammtests. Verwenden Sie Einheitswurzel statistische Tests auf der Zeitreihe zu bestimmen, ob es stationär ist oder nicht. Wiederholen Sie nach jeder Runde der Differenzierung. Vermeiden Sie über differencing. Die Differenzierung der Zeitreihen mehr als erforderlich ist, kann dazu führen, dass zusätzliche serielle Korrelation und zusätzliche Komplexität hinzukommen. 1.2 Konfigurieren von AR und MA Für die Auswahl der Parameter p und q des ARMA oder ARIMA stehen zwei Diagnose-Diagramme zur Verfügung. Sie sind: Autokorrelationsfunktion (ACK). Das Diagramm fasst die Korrelation einer Beobachtung mit Lag-Werten zusammen. Die x-Achse zeigt die Verzögerung und die y-Achse zeigt den Korrelationskoeffizienten zwischen -1 und 1 für negative und positive Korrelation. Teilweise Autokorrelationsfunktion (PACF). Das Diagramm fasst die Korrelationen für eine Beobachtung mit Verzögerungswerten zusammen, die nicht durch vorverlegte Beobachtungen berücksichtigt werden. Beide Diagramme sind als Balkendiagramme dargestellt, die die Konfidenzintervalle 95 und 99 als horizontale Linien darstellen. Stäbe, die diese Konfidenzintervalle kreuzen, sind daher wichtiger und bemerkenswerter. Einige nützliche Muster, die Sie auf diesen Plots beobachten können, sind: Das Modell ist AR, wenn der ACF nach einer Verzögerung nachläuft und einen harten Cutoff in der PACF nach einer Verzögerung hat. Diese Verzögerung wird als der Wert für p genommen. Das Modell ist MA, wenn die PACF nach einer Verzögerung nachläuft und nach der Verzögerung eine harte Abschaltung im ACF hat. Dieser Verzögerungswert wird als der Wert für q genommen. Das Modell ist eine Mischung aus AR und MA, wenn sowohl die ACF und PACF Weg weg. 2. Schätzung Schätzung beinhaltet die Verwendung von numerischen Methoden, um einen Verlust oder Fehler Begriff zu minimieren. Wir gehen nicht in die Details der Schätzung von Modellparametern, da diese Details von der ausgewählten Bibliothek oder dem Werkzeug behandelt werden. Ich würde empfehlen, sich auf ein Lehrbuch für ein tieferes Verständnis der Optimierung Problem von ARMA und ARIMA-Modelle und Optimierungsmethoden wie begrenzt-Speicher-BFGS gelöst werden, um es zu lösen gelöst werden. 3. Diagnoseprüfung Die Idee der Diagnoseprüfung ist, nach Beweisen zu suchen, dass das Modell nicht gut für die Daten geeignet ist. Zwei nützliche Bereiche zur Untersuchung der Diagnose sind: 3.1 Overfitting Die erste Überprüfung soll überprüfen, ob das Modell die Daten überträgt. Im Allgemeinen bedeutet dies, dass das Modell komplexer ist als es sein muss und erfasst zufälliges Rauschen in den Trainingsdaten. Dies ist ein Problem für die Zeitreihenvorhersage, da es sich negativ auf die Fähigkeit des Modells zur Verallgemeinerung auswirkt, was zu einer schlechten Prognoseperformance bei Probedaten führt. Sorgfältige Aufmerksamkeit muss sowohl der Probenahme als auch der Out-of-Sample-Leistung geboten werden, und dies erfordert die sorgfältige Konstruktion eines robusten Prüfkabelbaums zur Auswertung von Modellen. 3.2 Restfehler Die prognostizierten Residuen bieten eine große Chance für die Diagnostik. Eine Überprüfung der Verteilung von Fehlern kann dazu beitragen, Bias in dem Modell zu necken. Die Fehler aus einem idealen Modell ähneln weißes Rauschen, das ist eine Gaußsche Verteilung mit einem Mittelwert von Null und einer symmetrischen Varianz. Dazu können Sie Dichteplots, Histogramme und Q-Q-Diagramme verwenden, die die Verteilung der Fehler mit der erwarteten Verteilung vergleichen. Eine nicht-Gaußsche Verteilung kann eine Möglichkeit zur Datenvorverarbeitung nahe legen. Eine Schiefe in der Verteilung oder ein Nicht-Null-Mittelwert kann eine Vorspannung in Prognosen vorschlagen, die korrekt sein können. Zusätzlich würde ein ideales Modell keine zeitliche Struktur in der Zeitreihe der prognostizierten Residuen verlassen. Diese können durch Erstellen von ACF - und PACF-Diagrammen der Restfehlerzeitreihen überprüft werden. Das Vorliegen einer seriellen Korrelation in den Restfehlern legt eine weitere Möglichkeit für die Verwendung dieser Information in dem Modell nahe. Weiterführende Literatur Die definitive Ressource zum Thema ist die Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle. Ich würde die 2016 5. Auflage, insbesondere Teil 2 und Kapitel 6-10 empfehlen. Im Folgenden sind einige zusätzliche Lesungen, die helfen können, Ihr Verständnis, wenn Sie schauen, um tiefer gehen: In diesem Beitrag entdeckten Sie die Box-Jenkins-Methode für die Zeitreihe Analyse und Prognose. Insbesondere haben Sie gelernt: Über das ARIMA-Modell und die 3 Schritte der allgemeinen Box-Jenkins-Methode. Verwendung von ACF - und PACF-Diagrammen zur Auswahl der Parameter p und q für ein ARIMA-Modell. Wie benutzt man Overfitting und Restfehler, um ein passendes ARIMA-Modell zu diagnostizieren. Haben Sie Fragen zur Box-Jenkins Methode oder zu diesem Beitrag Fragen Sie in den Kommentaren Ihre Fragen und ich werde mein Bestes tun, um zu antworten. Über Jason Brownlee Jason ist Chefredakteur bei MachineLearningMastery. Er ist ein Mann, stolzer Vater, wissenschaftlicher Forscher, Autor, professioneller Entwickler und ein maschinenlesender Praktiker. Er hat einen Master und PhD in Künstliche Intelligenz, hat Bücher über Machine Learning veröffentlicht und hat geschrieben operativen Code, der in der Produktion läuft. Mehr erfahren. Modellierung von Restfehlern zur Korrektur von Zeitreihenprognosen mit PythonA Gentle Einführung in die Box-Jenkins-Methode für die Zeitreihenprognose Das autoregressive integrierte Gleitende Modell oder kurz ARIMA ist ein statistisches Standardmodell für die Zeitreihenprognose und - analyse. Zusammen mit ihrer Entwicklung schlagen die Autoren Box und Jenkins auch ein Verfahren zur Identifizierung, Schätzung und Überprüfung von Modellen für einen bestimmten Zeitreihendatensatz vor. Dieser Vorgang wird nun als Box-Jenkins-Methode bezeichnet. In diesem Beitrag, entdecken Sie die Box-Jenkins-Methode und Tipps für die Verwendung auf Ihre Zeitreihe Vorhersage Problem. Im Einzelnen werden Sie lernen: Über die ARIMA-Prozess und wie die 3 Schritte der Box-Jenkins-Methode. Best Practice-Heuristiken zur Auswahl der q-, d - und p-Modellkonfiguration für ein ARIMA-Modell. Auswertung von Modellen durch Überarbeitung und Restfehler als Diagnoseverfahren. Lassen Sie uns beginnen. Eine sanfte Einführung in die Box-Jenkins-Methode für die Zeitreihenprognose Foto von Erich Ferdinand. Einige Rechte vorbehalten. Autoregressives integriertes Moving Average Modell Ein ARIMA Modell ist eine Klasse von statistischem Modell zur Analyse und Prognose von Zeitreihendaten. ARIMA ist eine Abkürzung für A uto R egressive I ntegration M oving A verage. Es ist eine Verallgemeinerung des einfacheren AutoRegressive Moving Average und fügt den Begriff der Integration hinzu. Dieses Akronym ist beschreibend und erfasst die wichtigsten Aspekte des Modells selbst. Kurz, sie sind: AR. Autoregression. Ein Modell, das die abhängige Beziehung zwischen einer Beobachtung und einer gewissen Anzahl von verzögerten Beobachtungen verwendet. ICH . Integriert. Die Verwendung der Differenzierung von rohen Beobachtungen (d. H. Subtrahieren einer Beobachtung von einer Beobachtung bei der vorherigen Zeitstufe), um die Zeitreihe stationär zu machen. MA Gleitender Durchschnitt . Ein Modell, das die Abhängigkeit zwischen einer Beobachtung und Restfehlern von einem gleitenden Durchschnittsmodell verwendet, das auf verhaltene Beobachtungen angewendet wird. Jede dieser Komponenten wird explizit im Modell als Parameter angegeben. Eine Standardnotation wird von ARIMA (p, d, q) verwendet, wobei die Parameter mit ganzzahligen Werten ersetzt werden, um schnell das spezifische verwendete ARIMA-Modell anzuzeigen. Die Parameter des ARIMA-Modells sind wie folgt definiert: p. Die Anzahl der Lag-Beobachtungen in das Modell, auch die Lag-Reihenfolge. D. Die Häufigkeit, mit der die Rohbeobachtungen differenziert werden, auch Differenzgrad genannt. Q. Die Größe der gleitenden mittleren Fenster, auch die Reihenfolge der gleitenden Durchschnitt genannt. Box-Jenkins-Methode Die Box-Jenkins-Methode wurde von George Box und Gwilym Jenkins in ihrem Seminal 1970 Lehrbuch Zeitreihe Analyse: Prognose und Kontrolle vorgeschlagen. Der Ansatz beginnt mit der Annahme, dass der Prozess, der die Zeitreihe erzeugte, unter Verwendung eines ARMA-Modells, wenn es stationär ist, oder eines ARIMA-Modells, wenn es nicht stationär ist, angenähert werden kann. Die zweite Ausgabe des Lehrbuchs 2016 (Teil 2, Seite 177) bezieht sich auf den Prozess als stochastisches Modellbauwerk, und es ist ein iterativer Ansatz, der aus den folgenden drei Schritten besteht: Identifizierung. Verwenden Sie die Daten und alle damit zusammenhängenden Informationen, um zu helfen, eine Unterklasse des Modells auszuwählen, die die Daten am besten zusammenfassen kann. Einschätzung . Verwenden Sie die Daten, um die Parameter des Modells zu trainieren (d. h. die Koeffizienten). Diagnoseprüfung. Beurteilen Sie das eingebaute Modell im Rahmen der verfügbaren Daten und prüfen Sie auf Bereiche, in denen das Modell verbessert werden kann. Es ist ein iterativer Prozess, so dass, wenn neue Informationen während der Diagnose gewonnen werden, können Sie zurück zu Schritt 1 zurückkehren und das in neue Modellklassen integrieren. Let8217s werfen einen Blick auf diese Schritte im Detail. 1. Identifikation Der Identifizierungsschritt wird weiter unterteilt in: Beurteilung, ob die Zeitreihe stationär ist, und wenn nicht, wie viele Unterschiede erforderlich sind, um sie stationär zu machen. Identifizieren Sie die Parameter eines ARMA-Modells für die Daten. 1.1 Unterschiede Im Folgenden finden Sie einige Tipps zur Identifikation. Einheitenstammtests. Verwenden Sie Einheitswurzel statistische Tests auf der Zeitreihe zu bestimmen, ob es stationär ist oder nicht. Wiederholen Sie nach jeder Runde der Differenzierung. Vermeiden Sie über differencing. Die Differenzierung der Zeitreihen mehr als erforderlich ist, kann dazu führen, dass zusätzliche serielle Korrelation und zusätzliche Komplexität hinzukommen. 1.2 Konfigurieren von AR und MA Für die Auswahl der Parameter p und q des ARMA oder ARIMA stehen zwei Diagnose-Diagramme zur Verfügung. Sie sind: Autokorrelationsfunktion (ACK). Das Diagramm fasst die Korrelation einer Beobachtung mit Lag-Werten zusammen. Die x-Achse zeigt die Verzögerung und die y-Achse zeigt den Korrelationskoeffizienten zwischen -1 und 1 für negative und positive Korrelation. Teilweise Autokorrelationsfunktion (PACF). Das Diagramm fasst die Korrelationen für eine Beobachtung mit Verzögerungswerten zusammen, die nicht durch vorverlegte Beobachtungen berücksichtigt werden. Beide Diagramme sind als Balkendiagramme dargestellt, die die Konfidenzintervalle 95 und 99 als horizontale Linien darstellen. Stäbe, die diese Konfidenzintervalle kreuzen, sind daher wichtiger und bemerkenswerter. Einige nützliche Muster, die Sie auf diesen Plots beobachten können, sind: Das Modell ist AR, wenn der ACF nach einer Verzögerung nachläuft und einen harten Cutoff in der PACF nach einer Verzögerung hat. Diese Verzögerung wird als der Wert für p genommen. Das Modell ist MA, wenn die PACF nach einer Verzögerung nachläuft und nach der Verzögerung eine harte Abschaltung im ACF hat. Dieser Verzögerungswert wird als der Wert für q genommen. Das Modell ist eine Mischung aus AR und MA, wenn sowohl die ACF und PACF Weg weg. 2. Schätzung Schätzung beinhaltet die Verwendung von numerischen Methoden, um einen Verlust oder Fehler Begriff zu minimieren. Wir gehen nicht in die Details der Schätzung von Modellparametern, da diese Details von der ausgewählten Bibliothek oder dem Werkzeug behandelt werden. Ich würde empfehlen, sich auf ein Lehrbuch für ein tieferes Verständnis der Optimierung Problem von ARMA und ARIMA-Modelle und Optimierungsmethoden wie begrenzt-Speicher-BFGS gelöst werden, um es zu lösen gelöst werden. 3. Diagnoseprüfung Die Idee der Diagnoseprüfung ist, nach Beweisen zu suchen, dass das Modell nicht gut für die Daten geeignet ist. Zwei nützliche Bereiche zur Untersuchung der Diagnose sind: 3.1 Overfitting Die erste Überprüfung soll überprüfen, ob das Modell die Daten überträgt. Im Allgemeinen bedeutet dies, dass das Modell komplexer ist als es sein muss und erfasst zufälliges Rauschen in den Trainingsdaten. Dies ist ein Problem für die Zeitreihenvorhersage, da es sich negativ auf die Fähigkeit des Modells zur Verallgemeinerung auswirkt, was zu einer schlechten Prognoseperformance bei Probedaten führt. Sorgfältige Aufmerksamkeit muss sowohl der Probenahme als auch der Out-of-Sample-Leistung geboten werden, und dies erfordert den sorgfältigen Entwurf eines robusten Prüfkabelbaums zur Auswertung von Modellen. 3.2 Restfehler Die prognostizierten Residuen bieten eine große Chance für die Diagnostik. Eine Überprüfung der Verteilung von Fehlern kann dazu beitragen, Bias in das Modell necken. Die Fehler aus einem idealen Modell ähneln weißen Rauschen, das ist eine Gaußsche Verteilung mit einem Mittelwert von Null und einer symmetrischen Varianz. Dazu können Sie Dichteplots, Histogramme und Q-Q-Diagramme verwenden, die die Verteilung der Fehler mit der erwarteten Verteilung vergleichen. Eine nicht-Gaußsche Verteilung kann eine Möglichkeit zur Datenvorverarbeitung nahe legen. Eine Schiefe in der Verteilung oder ein Nicht-Null-Mittelwert kann eine Vorspannung in Prognosen vorschlagen, die korrekt sein können. Zusätzlich würde ein ideales Modell keine zeitliche Struktur in der Zeitreihe der prognostizierten Residuen verlassen. Diese können durch Erstellen von ACF - und PACF-Diagrammen der Restfehlerzeitreihen überprüft werden. Das Vorliegen einer seriellen Korrelation in den Restfehlern legt eine weitere Möglichkeit für die Verwendung dieser Information in dem Modell nahe. Weiterführende Literatur Die definitive Ressource zum Thema ist die Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle. Ich würde die 2016 5. Auflage, insbesondere Teil 2 und Kapitel 6-10 empfehlen. Im Folgenden sind einige zusätzliche Lesungen, die helfen können, Ihr Verständnis, wenn Sie schauen, um tiefer gehen: In diesem Beitrag entdeckten Sie die Box-Jenkins-Methode für die Zeitreihe Analyse und Prognose. Insbesondere haben Sie gelernt: Über das ARIMA-Modell und die 3 Schritte der allgemeinen Box-Jenkins-Methode. Verwendung von ACF - und PACF-Diagrammen zur Auswahl der Parameter p und q für ein ARIMA-Modell. Wie benutzt man Overfitting und Restfehler, um ein passendes ARIMA-Modell zu diagnostizieren. Haben Sie Fragen zur Box-Jenkins Methode oder zu diesem Beitrag Fragen Sie in den Kommentaren Ihre Fragen und ich werde mein Bestes tun, um zu antworten. Über Jason Brownlee Jason ist Chefredakteur bei MachineLearningMastery. Er ist ein Mann, stolzer Vater, wissenschaftlicher Forscher, Autor, professioneller Entwickler und ein maschinenlesender Praktiker. Er hat einen Master und PhD in Künstliche Intelligenz, hat Bücher über Machine Learning veröffentlicht und hat geschrieben operativen Code, der in der Produktion läuft. Mehr erfahren. Vorgehensweise beim Modellieren von Restfehlern zur Korrektur von Zeitreihenprognosen mit Python8.4 Verschieben von Durchschnittsmodellen Anstatt Vergangenheitswerte der Prognosedatei in einer Regression zu verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem Regressionsmodell. Y c et the theta e dots theta e, wobei et weißes Rauschen ist. Wir bezeichnen dies als MA (q) - Modell. Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Man beachte, daß jeder Wert von yt als gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler betrachtet werden kann. Jedoch sollten gleitende Durchschnittsmodelle nicht mit der gleitenden glatten Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte verwendet, während die gleitende gleitende Durchschnittskurve für die Abschätzung des Trendzyklus der vergangenen Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele für Daten aus gleitenden Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit yt 20e t 0,8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0,8e t-2. In beiden Fällen ist e t normal verteiltes Weißrauschen mit Mittelwert Null und Varianz Eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) - Modell und einem MA (2) - Modell. Das Ändern der Parameter theta1, dots, thetaq führt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerterms et nur den Maßstab der Reihe ändern, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR (p) - Modell als MA (infty) - Modell zu schreiben. Beispielsweise können wir dies bei einem AR (1) - Modell demonstrieren: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amp phi13y phi12e phi1 e et amptext ende Provided -1 lt phi1 lt 1 wird der Wert von phi1k kleiner, wenn k größer wird. So erhalten wir schließlich yt und phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschränkungen auferlegen. Dann wird das MA-Modell invertierbar. Das heißt, dass wir alle invertierbaren MA (q) Prozess als AR (infty) Prozess schreiben können. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA-Modellen auf AR-Modelle umwandeln können. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu verwenden. Die Invertibilitätsbedingungen sind den stationären Einschränkungen ähnlich. Für ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Für ein MA (2) - Modell: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten für qge3. Wiederum wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen.

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